Opérateur de rang fini - Math'φsics

Opérateur de rang fini

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Opérateur linéaire de rang fini \(T\)
Opérateur linéaire dont l'Image (algèbre linéaire)|Image est de dimension finie. $$\operatorname{dim}(\operatorname{Im} T)\lt +\infty$$
- on note \(L_f(E,F)\) l'ensemble des opérateurs linéaires de rang fini de \(E\) dans \(F\)
- on a une écriture : $$\exists I\in{\Bbb N},\exists\varphi_1,\dots,\varphi_I\in E^*,\exists f_1,\dots,f_I\in F,\forall x\in E,\qquad T(x)=\sum_{i=1}^I\varphi_i(x)f_i$$
- si \(T\) \(\in\overline{L_f(E,F)}\), alors \(T:B_E(0,1)\) munie de la Topologie faible \(\longrightarrow(F,\lVert\cdot\rVert_F)\) est continue
- si \(E\) est un Espace de Banach, on a \(\overline{L_f(E,F)}\subset L_C(E,F)\), avec égalité si \(E\) a la Propriété d'approximation
Opérateur linéaire compact
Questions de cours

Montrer la dernière ligne :

On prend \(f_1,\dots,f_I\) les vecteurs de la base de \(\operatorname{Im}(T)\), et la Base duale associée.

En prenant \(\varphi_i=f_i^*\circ T\), on a bien l'écriture voulue.

Démontrer :

On commence par considérer le cas où \(T\) est de rang fini (pas forcément dans l'adhérence).

\(T\) est alors continue par continuité des éléments de l'espace dual pour la topologie faible.

Le cas général s'obtient alors par Convergence uniforme.

Démontrer \((ii)\) :

Si \(T\) est de rang fini, alors l'image de la boule unité fait partie de son image totale.

C'est donc un compact en tant que fermé borné d'un espace vectoriel de dimension finie.

Démontrer \((iii)\) :

On prend \(T\) un opérateur compact, et \(S\) un opérateur de rang fini qui permet d'avoir la PA sur la boule unité.

\(S\circ T\) est alors de rang fini par inclusion des images.

\(S\circ T\) est donc arbitrairement proche de \(T\) sur la boule unité.

La norme de la différence est alors arbitrairement faible.
Rétroliens :
- Propriété d'approximation